ОПТИМИЗАЦИЯ ТРЕБУЕМЫХ ВЫХОДНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СИСТЕМЫ ЭКСПЛУАТАЦИИ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ КОМПЛЕКСОВ

В предыдущем параграфе эта задача бы­ла сформулирована и поставлена в общем виде [см. (7.10) и (7.11)]. Один из возможных вариантов явного выражения функции CN от опти­мизируемых параметров можно получить, используя степенную за­висимость (6.42):

CN = ЛР“‘ (тс) кг ир"3 (тл.0) Р“* (тп) Р“’ (тпл) х

х Р^(Т„м) Р’7 (тз) РжЛа, Рз“ (т""7г‘гРб. г. (7.18)

Функцию показателя эффективности 117^ = W7V для одного из ва­риантов применения системы, когда справедливы, например, зависи­мости (3.3) и (3.6), получим в следующем вице:

WN = WN,- Р (тс)/(т. иР<тл. с)Р(тп) Р (тШІ) Р (tdm) X

хР(Тз)Рж^[і-е-^/(2з2)]. (7.19)

Зависимость времени Тс создания системы ЛК с определенными характеристиками, составляющими вектор YfcM. (7.1)], по аналогии с (7.18) запишем в виде степенного выражения

7 С = КРи (тс) кг„ Р(з (ТЛ. С) Рт‘ (тп) X X РТв (Тпл) Р, в (Тпм) Р1’ (т3) Р£Р‘* o^N^T^Ptr, (7.20)

где£>, Yi — у13 — постоянные коэффициенты, причем у1о< 0, а осталь­ные — положительные.

Для упрощения записи введем обозначения:

Р(ТС) ~ Уі’ Кт. и — Уъ> Р(Тл. с) = Рз! Р(‘Гп)==р4>1 Р О^пл) = Ув>> Р С^пм) = Уе< Р (Тз) = 1/7> Рш = №, I (7.21)

Рз = Рю» 0 = l/ll> ^ = У9’ Тг = Рб. г = */l3- ‘

Теперь зависимости (7.18)—(7.20) можно представить в следующем виде:

13 C/V = л П Уа} ; (7.22) п4,-е«)]; (7.23) 13 _ TC = D П Уі і=і (7.24) С’, учетом принятых обозначений и полученных выражений (7.21)— (7.24) запишем постановку задачи (7.10), опуская постоянный множи-

тель у целевой функции, как не влияющий на положение минимума, и вводя дополнительное ограничение на область изменения перемен­ных уй

(7.25)

Уі> 0 (i = 1, 2,13),

гд® Уі2тр ТГш тр, Уізтр ^*б. г. Тр—

Для решения задачи (7.25) должны быть заданы следующие исход­ные данные:

аг> 7ji Д^доп, Уі2Тр» Різтр> . (7.26)

Аналогично может быть поставлена задача (7.11):

П й [l — = max; А П ^ < С* „„;

^ ^ Уі ^ Тс. Лол і У і 2 ^ Уі2 тР> У13 ^ УїЗ тр> /= I

Уг > О (і=1, 2, …,13).

Эта задача решается при следующих исходных данных:

То Т)7 ТС’]Х£)П1 У12 тр> У із тр> ^Nfipu* (7.28)

Обе поставленные задачи относятся к классу задач нелинейного программирования (см. [32, 43, 45, 49, 55, 63, 64, 671). Можно легко показать, что в постановках (7.25) и (7.27) как целевые функции, так и функции ограничений выпуклы, поэтому в данном случае имеем дело с частным случаем нелинейного программирования — задачами выпуклого программирования. Существует ряд хорошо разработан­ных методов и алгоритмов решения подобных задач, подробно рассмотренных в указанной выше литературе.

Прежде чем выбрать какой-либо из известных методов решения за­дач выпуклого программирования, проанализируем возможности полу­чения необходимых исходных данных (7.26) или (7.28). В § 7.1 при рассмотрении общей последовательности решения любой задачи опти­мизации было отмечено, что часто невозможность получения некоторых исходных данных приводит к необходимости или целесообразности из­менения постановки задачи.

В задачах (7.25) и (7.27) определенные трудности представляет получение степенных зависимостей (7.22) и (7.24). Реально такие вы­ражения можно получить на стадии разработки технических предло­жений при анализе и прогнозировании известными методами (см. [61]) различных вариантов ЛК и системы его эксплуатации. Обычно выби­рают в качестве базового или основного варианта какой-то ЛК и систе­му его эксплуатации с вектором характеристик

Y° = {уи yl………….. уЧ,…). (7.29)

Варьируя выходными характеристиками ЛК и системы его эксплуа­тации, можно оценить изменения стоимости создания и эксплуатации bCN и времени ЬТС, необходимого на создание системы ЛК.

Обычно возможные изменения каждой составляющей yt вектора У выходных характеристик ограничены узкими пределами

Уін<Уі<Уів — (7-30)

Следует отметить, что интервал (г/ін, уів) определяется результатами научных исследований в соответствующей области, возможностью внедрения их в промышленность, производственными мощностями по созданию требуемого количества ЛК с заданными характеристиками в ограниченные сроки.

Таким образом, необходимые для решение рассматриваемых задач исходные данные можно получить как приближенные технико-эконо­мические оценки при изменении искомых характеристик в узких пределах. Для этого следует заменить нелинейные степенные зависи­мости (7.22) и (7.24) линеаризованными относительно базового вектора Y0 [см. (7.29)1. Введем переменные

Уі = ЦііУі = (уі — уї)ІУ°і, (7.31)

изменяющиеся в пределах (yis, у[в), где

~Уш=(Уіи — ‘м)/Уі’> Уів = (Уів — уї)іуї • (7.32)

Функция CN была линеаризована в § 6.4 [см. (6.44)]; с учетом обоз­начения (7.31) ее можно записать в виде

bCNICN = 2 atyt. (7.33)

i=i

В соотвст’ствии с (7.24) получим

13

ЪТС/ТС = 2 УіУі. 1=1

**= * і t—І і

Линеаризируем далее выражение (7.23):

в точке у і.

bwN/wN = (Ра == Р*

Обозначим (7.39) через р10, а (7.40) — через ри. Тогда в соответст­вии с (7.37) — (7.40) можно записать:

Заметим, что рІ0> 0, |3ц< 0 и между ними существует связь

Ми = (7.43)

Следовательно, влияние параметра о = r/ц на показатель эффек­тивности ЛК в 1/гщ раз сильнее, чем параметра R3 = yl0t и противо­положно по знаку.

Оценим порядок величин р)0 и ри: пусть у%/у°п = 3 и у?0 = 1 (i/?i = 1/3), тогда в соответствии с (7.39) и (7.40) имеем:

" Р, о-3*е~ТЗ /(l-е ~3) = 0,1011;

Pii = — Pio/tf, = —0,1011/(1/3) = -0,3033,

т. е. в условиях примера отклонение величин /?3 = у10 и о = уп на 1% меняет соответственно показатель эффективности WN примерно на 0,1 и— 0,3%, в то время как отклонение на 1 % любого из остальных параметров, входящих в функции WN, приводит к ее изменению на 1 %.

Используя линеаризованные зависимости (7.33), (7.34) и (7.42) и предполагая, что они справедливы при изменении параметров yt в пределах (7.32), дадим математическую постановку задачи (7.25):

Уін < Уі^ Уів< Уп > 0; Уїз > о.

В ограничениях, входящих в (7.44), нули в правых частях образо­вались из-за того, что в линейной постановке задачи оптимизируемые параметры находят как отклонения от базового значения, которое рас­сматривают и как требуемое. Например, для’параметра

Ую = (Ую — Уш)/у? о и при у10тр = У? о получим у,0 =

= (Ую тР — У? о)/Уіо = о.

Задачу (7.27) в линейной постановке можно представить в следую­щем виде:

11 13 13 ,

2 Ш = max; 2 «іУі < 0; 2 УіУі < ….

і=і 1=1 1=1 (7.45)

Уін < Уі < Уів’> Уіа > 0; У із > 0.

Задачи (7.44) и (7.45) являются задачами линейного программиро­вания, так как целевые функции и функции ограничений линейны относительно оптимизируемых параметров у,. Для_их решения необхо­димы следующие исходные данные: аг, |Зг, yh уІЕ, yih. Ограничения на показатель эффективности в задаче (7.44) и на стоимость в задаче (7.45) существенные, а ограничение на время создания системы в первом приближении можно снять. Задачи при таком подходе можно заметно упростить. Если для найденных таким путем оптимальных значений л_

у і выполняется ограничение на время создания системы, то полученные решения не зависят от сделанного допущения. Если найденные опти-

_Л

мальные значения уг не удовлетворяют требованиям к срокам создания системы ЛК, то потребуется решение более полной задачи, при кото­ром система будет дороже или снизятся уровни ее выходных характе­ристик.

Исключение ограничения на время создания системы ЛК позволяет отказаться и от двух последних ограничений на параметры уа, уїз. Действительно, для задачи (7.44) эти два параметра должны: лежать в заданных пределах; быть больше или равными нулю; быть минималь­ными, чтобы обеспечить минимум целевой функции (ограничение по
показателю эффективности от них не зависит). Всем трем перечислен­ным условиям отвечают только одни значения:

Уп = 0; уа = 0, (7.46)

_л л

т. е. в качестве оптимальных у12, у а должны быть приняты базовые значения параметров г/щ, г/щ. В задаче (7.45) анализируемые параметры одновременно должны быть меньше или равны нулю и больше йли равны нулю, т. е. они должны быть сірого равны нулю.

С учетом этого постановки задач (7.44) и (7.45) приводятся к следую­щему виду:

и и

2 «гРг = min; 2 Ргг/г > 0;

«=і і=і

Уіи ^ Уі ^ Уів>

И 11

S $іУі = max; 2 “іУі < 0;

«=і г=і

Уіи ^ Уі ^ Уів-

Решение задач (7.47) и (7.48) может быть получено при использова­нии известных алгоритмов линейного программирования (см. [21, 22, 71]).

Проанализируем возможности решения задач (7.25) и (7.47) на примере, в котором для наглядности оставим из 11 только две перемен­ных.

Пример 7.1. Пусть известно, что стоимость С N создания и эксплуатации, а также показатель Wn эффективности системы ЛК зависят от коэффициента технической готовности Кт. и = Уї и вероятности Р(тп) = у2 следующим обра­зом:

CN = Ay»’1 у°2-2 ; WN — ВУіу2.

где А и В — постоянные неизвестные коэффициенты.

Известно также, что требуемое значение величины (U7/v/B)TP :> 0,9024, а оптимизируемые величины могут изменяться в следующих пределах:

0,9120 « К^н « 0,9984; 0,8930 < Р (тп) < 0,9870.

В нелинейной постановке в соответствии с (7.25) и исходными данными за­дачу записываем в следующем виде:

у,’1 у^’2 =’min; УіУ2 > 0,9024;

0,9120 « уу < 0,9984; 0,8930 < уг < 0,9870.

Для линеаризации задачи необходимы дополнительные сведения о базовых значениях i/i и у2. Пусть i/j = 0,9600; у = 0,9400, что обеспечивает выполне­ние ограничений, и, в частности, имеем

(WNIB)Tp = уу°2 = 0,9600 • 0,9400 = 0,9024.

у,- 0,9600

/Л = —————- • 100 70,

J1 0,9600

0,9400

й.„ык=ыа?.ке*.*

Тогда нижние и верхние пределы изменения составят:

В соответствии с полученными данными и выражениями (7.47) задача в ли­нейной постановке принимает следующий вид:

0, іїт + 0,2р2 = шїп; ~Ух + у2>>0; — 5<(/х <4; — 5<(/2<5.

11-

Решение задачи возможно получить даже графически (рис. 7.2). Область А >і їмснения оптимизируемых переменных образована тремя ограничениями. Для

А А

определения оптимальной ТОЧКИ Оі(Уі> у2) необходимо построить семейство пря­мых 0,1й + 0,2у2 = С (С — константу) и найти такую точку области А, через которую проходит прямая 0,1 + 0,2у2 = Cmin. При С = 0 прямая проходит

через начало координат, а при С = —0,4— через точку ах(4; —4), еще принад­лежащую области А. Все остальные прямые с С < —0,6 уже выходят из допусти­ла __

мой области. Таким образом, решение задачи таково: уг = 4; у2 = —4. Перехо­дя к абсолютным значениям, получим:

Ат. и = 0,9600 + 4 • 0,9600/100 = 0,9984;

Р(тп) = 0,9400 — 4 • 0,9400/100 = 0,9024.

Проанализируем полученное решение. При высокой стоимости обеспечения безотказности подготовки и пуска ЛА целесообразно компенсировать низкое требуемое значение 8(Тц) высоким показателем Ат. и» достижение которого об­ходится дешевле. При этом полу­

-сА г Д

%Тл-

ппн’ Jrv’ ГРаФическое решение задачи Р Д ух оптимизируемых параметрах

о,It/i — f 0,1 y2 = min; 0,2^ + 0,= min.

В первом случае получим вместо оптимальной точки совокупность всех то­чек, лежащих на прямой у± + у2 = 0, т. е. любая пара значений параметров Уі и у2, удовлетворяющая условию у± + у2 = 0, является оптимальной. Физи­чески это означает, что затраты на создание и эксплуатацию ЛК с любыми ха­рактеристиками Кт. и и Р(тп), произведение которых дает величину 0,9024, одинаковы и равны стоимости при базовом варианте.

Во втором случае, когда дороже обеспечить безотказность, чем готовность комплекса, оптимальное решение отвечает точке о2(—5; 5) (рис. 7.2) и прямой 0,2{/і + 0,1 у2 = —0,5 семейства 0,2у± + 0,1 у2 = С,

Заметим, что в рассмотренных трех задачах изменение коэффици­ентов в целевой функции меняет не только положение оптимума, но и величину целевой функции (суммарных затрат на создание и эксплу­атацию системы ЛК). Приведенный пример показывает реальные воз­можности оптимизации выходных характеристик системы эксплуата­ции ЛК. В том случае, когда имеются хотя бы ориентировочные стои­мостные оценки для различных вариантов ЛК и его системы эксплуата­ции, можно указать оптимальные значения тех или иных характеристик в определенных узких пределах. Следует отметить, что никакие по­становки и решения задач оптимизации, даже в сложной нелинейной форме, не могут заменить правильного выбора типа и структуры ЛК, примерных (базовых) характеристик создаваемой системы с четким качественным и количественным анализом возможных пределов их изменения, так как часто в подобных задачах оптимальные значения лежат на границах диапазона изменения.